Calculateur de la loi des cosinus
La loi des cosinus est un théorème fondamental de la trigonométrie qui relie les côtés et les angles de n'importe quel triangle. Contrairement au théorème de Pythagore, qui ne s'applique qu'aux triangles rectangles, la loi des cosinus fonctionne pour tous les triangles, qu'ils soient acutangles, obtusangles ou rectangles. La formule est c² = a² + b² - 2ab·cos(C), où a et b sont deux côtés, C est l'angle compris entre eux et c est le côté opposé. Utilisez ce calculateur selon deux modes principaux : (1) à partir de deux côtés et de l'angle compris entre eux (CAC), trouvez le troisième côté et les angles restants ; (2) à partir des trois côtés (CCC), trouvez les trois angles. Le calculateur affiche la formule, le calcul étape par étape et tous les résultats avec des libellés clairs. Un exemple résolu figure ci-dessous. Cet outil est utile aux géomètres, aux ingénieurs, aux architectes et à toute personne résolvant des problèmes de triangle en physique, en navigation ou en construction.
Formules de la loi des cosinus
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)
cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac)
cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)
Exemple résolu (mode CAC)
Données : côté a = 5, côté b = 7, angle C = 60 degrés. Trouver le côté c et les autres angles.
- c² = 5² + 7² - 2(5)(7)cos(60°) = 25 + 49 - 70(0,5) = 74 - 35 = 39
- c = racine(39) = 6,24
- cos(A) = (7² + 6,24² - 5²) / (2·7·6,24) = (49 + 38,94 - 25) / 87,36 = 62,94 / 87,36 = 0,7206
- A = arccos(0,7206) = 43,9 degrés
- Somme des angles : A + B + C = 180, donc B = 180 - 43,9 - 60 = 76,1 degrés
Calculateur de la loi des cosinus : questions fréquentes
Qu'est-ce que la loi des cosinus ?
La loi des cosinus relie les côtés et les angles de n'importe quel triangle. Si a, b, c sont les côtés et C est l'angle opposé au côté c, alors c² = a² + b² - 2ab·cos(C). Elle généralise le théorème de Pythagore : lorsque C = 90 degrés, cos(C) = 0, donc c² = a² + b², ce qui correspond au théorème de Pythagore.
Quand utiliser la loi des cosinus ?
Utilisez la loi des cosinus lorsque vous connaissez soit : (1) deux côtés et l'angle compris entre eux (CAC), pour trouver le troisième côté ; (2) les trois côtés (CCC), pour trouver n'importe quel angle ; ou (3) deux côtés et un angle non compris entre eux (CCA), pour trouver un autre angle ou côté. Elle fonctionne pour n'importe quel triangle, pas seulement les triangles rectangles.
Quelle est la différence entre CCC, CAC et CCA ?
CCC (côté-côté-côté) signifie que vous connaissez les trois côtés et que vous voulez trouver les angles. CAC (côté-angle-côté) signifie que vous connaissez deux côtés et l'angle compris entre eux. CCA (côté-côté-angle) signifie que vous connaissez deux côtés et un angle qui n'est pas compris entre eux (l'angle non compris).
Puis-je utiliser la loi des cosinus pour trouver des angles ?
Oui. Si vous connaissez les trois côtés (CCC), vous pouvez réarranger la loi des cosinus pour résoudre le cosinus de n'importe quel angle : cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab). Utilisez ensuite le cosinus inverse (arccos) pour trouver l'angle. Ce calculateur le fait automatiquement.
Pourquoi la loi des cosinus est-elle appelée le théorème de Pythagore généralisé ?
Parce qu'elle fonctionne pour tous les triangles, pas seulement les triangles rectangles. Lorsque l'angle vaut 90 degrés, cos(90) = 0, donc la formule se réduit au théorème de Pythagore c² = a² + b². Pour les angles obtus ou aigus, la loi des cosinus tient compte de l'aire supplémentaire ou manquante.
Sources officielles
- Définitions trigonométriques : mathématiques du NIST.
Relu par l'équipe CalculatorHub, édité par James Graham, le 14 juin 2026. Consultez notre méthodologie.