Kalkulator eliminacji Gaussa
To narzędzie stosuje zależność Rozwiąż układ 3x3 równań liniowych A × [x,y,z] = b metodą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego i podstawianiem wstecznym. 1) Utwórz macierz rozszerzoną [A | b]. 2) Dla każdej kolumny wybierz wiersz z największym elementem głównym (częściowy wybór elementu głównego). 3) Wyeliminuj wyrazy poniżej elementu głównego: rowᵢ -= (M[i][col]/M[col][col]) × row col. 4) Osiągnij postać trójkątną górną. 5) Podstaw wstecz od dołu do góry: sol[i] = (b[i] - suma_{j>i} M[i][j] × sol[j]) / M[i][i]. Zerowy element główny (|element| < 1e-12) oznacza brak jednoznacznego rozwiązania. Wykorzystuje listę wartości (Równanie 1: a, b, c, wyraz wolny, Równanie 2: a, b, c, wyraz wolny, Równanie 3: a, b, c, wyraz wolny) i daje następujące wyniki: x, y, z, Status. Ponieważ jest to reguła deterministyczna, a nie przepis specyficzny dla danego kraju, wynik nigdy się nie zmienia: te same wartości wejściowe zawsze dają ten sam wynik, niezależnie od tego, czy sprawdzasz zadanie, przygotowujesz konfigurację, czy weryfikujesz inne narzędzie. Wprowadź swoje wartości w polach poniżej, a wynik zostanie zaktualizowany natychmiast; możesz również udostępnić trwały link, który wstępnie wypełnia dokładne obliczenie, przydatny w nauczaniu, raportach lub pracy zespołowej. Na przykład dla Równanie 1: a, b, c, wyraz wolny = 2; 1; -1; 8, Równanie 2: a, b, c, wyraz wolny = -3; -1; 2; -11, Równanie 3: a, b, c, wyraz wolny = -2; 1; 2; -3 wynik to 2, a rozwiązany przykład poniżej pokazuje każdy krok, abyś mógł prześledzić obliczenie i odtworzyć je ręcznie. Metoda to standardowa udokumentowana postać (źródło: NIST DLMF), a znacznik nad każdym wynikiem wskazuje datę ostatniej weryfikacji. To narzędzie dostarcza informacji ogólnych i nie zastępuje profesjonalnej porady w dziedzinie inżynierii, medycyny, finansów lub nauki; zawsze weryfikuj krytyczne wyniki na podstawie źródła pierwotnego i własnego osądu.
Dla Równanie 1: a, b, c, wyraz wolny = 2; 1; -1; 8, Równanie 2: a, b, c, wyraz wolny = -3; -1; 2; -11, Równanie 3: a, b, c, wyraz wolny = -2; 1; 2; -3 wynik to 2.
Dotyczy: podanych wartości wejściowych. Źródło metody: NIST DLMF, zweryfikowano 2026-07-14.
Wzór
Rozwiąż układ 3x3 równań liniowych A × [x,y,z] = b metodą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego i podstawianiem wstecznym. 1) Utwórz macierz rozszerzoną [A | b]. 2) Dla każdej kolumny wybierz wiersz z największym elementem głównym (częściowy wybór elementu głównego). 3) Wyeliminuj wyrazy poniżej elementu głównego: rowᵢ -= (M[i][col]/M[col][col]) × row col. 4) Osiągnij postać trójkątną górną. 5) Podstaw wstecz od dołu do góry: sol[i] = (b[i] - suma_{j>i} M[i][j] × sol[j]) / M[i][i]. Zerowy element główny (|element| < 1e-12) oznacza brak jednoznacznego rozwiązania
Rozwiązany przykład
Dla Równanie 1: a, b, c, wyraz wolny = 2; 1; -1; 8, Równanie 2: a, b, c, wyraz wolny = -3; -1; 2; -11, Równanie 3: a, b, c, wyraz wolny = -2; 1; 2; -3:
- Rozwiąż układ 3x3 równań liniowych A × [x,y,z] = b metodą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego i podstawianiem wstecznym. 1) Utwórz macierz rozszerzoną [A | b]. 2) Dla każdej kolumny wybierz wiersz z największym elementem głównym (częściowy wybór elementu głównego). 3) Wyeliminuj wyrazy poniżej elementu głównego: rowᵢ -= (M[i][col]/M[col][col]) × row col. 4) Osiągnij postać trójkątną górną. 5) Podstaw wstecz od dołu do góry: sol[i] = (b[i] - suma_{j>i} M[i][j] × sol[j]) / M[i][i]. Zerowy element główny (|element| < 1e-12) oznacza brak jednoznacznego rozwiązania
- Dla wartości: Równanie 1: a, b, c, wyraz wolny = 2; 1; -1; 8, Równanie 2: a, b, c, wyraz wolny = -3; -1; 2; -11, Równanie 3: a, b, c, wyraz wolny = -2; 1; 2; -3
- x = 2
- y = 3
- z = -1
- Status = Rozwiązanie jednoznaczne
Ten rozwiązany przykład jest jednym z automatycznych testów wartości referencyjnych, które ten kalkulator musi przejść przed publikacją.
Założenia
- To narzędzie stosuje regułę deterministyczną do podanych wartości wejściowych.
- Informacja ogólna, nie stanowi porady profesjonalnej.
Najczęściej zadawane pytania
Jaki wzór jest używany?
Rozwiąż układ 3x3 równań liniowych A × [x,y,z] = b metodą eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego i podstawianiem wstecznym. 1) Utwórz macierz rozszerzoną [A | b]. 2) Dla każdej kolumny wybierz wiersz z największym elementem głównym (częściowy wybór elementu głównego). 3) Wyeliminuj wyrazy poniżej elementu głównego: rowᵢ -= (M[i][col]/M[col][col]) × row col. 4) Osiągnij postać trójkątną górną. 5) Podstaw wstecz od dołu do góry: sol[i] = (b[i] - suma_{j>i} M[i][j] × sol[j]) / M[i][i]. Zerowy element główny (|element| < 1e-12) oznacza brak jednoznacznego rozwiązania, standardowa udokumentowana forma; źródło: NIST DLMF.
Czy wynik zmienia się w czasie?
Nie. To reguła deterministyczna: te same wartości wejściowe zawsze dają ten sam wynik.
Źródła urzędowe i weryfikacja
- Metoda: NIST DLMF, zweryfikowano 2026-07-14.
Sprawdzone przez zespół CalculatorHub, zredagowane przez James Graham, 2026-07-14. Zobacz naszą metodologię. Informacja ogólna, nie stanowi porady profesjonalnej.