偏导数计算器
本工具使用关系式 中心差分近似：df/dx ≈ (f(x+h, y) - f(x-h, y)) / (2 × h)；df/dy ≈ (f(x, y+h) - f(x, y-h)) / (2 × h)；误差为O(h²)；默认h = 0.0001可得约8位有效数字。梯度：grad(f) = (df/dx, df/dy)；梯度大小 |grad f| = √((df/dx)² + (df/dy)²)。。 本工具使用 一组输入值（f(x, y) =、x值、y值、步长h（默认0.0001）），并返回以下结果：df/dx（对x的偏导数）, df/dy（对y的偏导数）, f(x, y), 梯度向量（df/dx, df/dy）, 梯度大小|grad f|。 因为这是确定性规则，而非特定国家/地区的规定，所以结果永远不会改变。无论是核对作业、准备配置，还是验证其他工具，相同的输入始终得到相同的结果。 在下方输入框中填入数值，结果会即时更新。您还可以分享预填了具体计算的固定链接，便于教学、报告或团队协作。 例如，当 f(x, y) = = x**2 + 3*x*y, x值 = 2, y值 = 1, 步长h（默认0.0001） = 0.0001 时，结果为 7，下方的计算示例展示了每个步骤，您可以据此复核并手动重现计算过程。 该方法采用标准的文献记录形式 （来源：CalculatorHub 方法论），每个结果上方的标记显示最后核实日期。 本工具仅提供一般性信息，不能替代工程、医学、金融或科学方面的专业建议。重要结果请务必对照原始资料并结合自身判断加以核实。
当 f(x, y) = = x**2 + 3*x*y, x值 = 2, y值 = 1, 步长h（默认0.0001） = 0.0001 时，结果为 7.
适用于： 给定的输入值。方法来源： CalculatorHub 方法论, 核实于 2026-07-14.
公式
中心差分近似：df/dx ≈ (f(x+h, y) - f(x-h, y)) / (2 × h)；df/dy ≈ (f(x, y+h) - f(x, y-h)) / (2 × h)；误差为O(h²)；默认h = 0.0001可得约8位有效数字。梯度：grad(f) = (df/dx, df/dy)；梯度大小 |grad f| = √((df/dx)² + (df/dy)²)。
计算示例
输入 f(x, y) = = x**2 + 3*x*y, x值 = 2, y值 = 1, 步长h（默认0.0001） = 0.0001:
- 中心差分近似：df/dx ≈ (f(x+h, y) - f(x-h, y)) / (2 × h)；df/dy ≈ (f(x, y+h) - f(x, y-h)) / (2 × h)；误差为O(h²)；默认h = 0.0001可得约8位有效数字。梯度：grad(f) = (df/dx, df/dy)；梯度大小 |grad f| = √((df/dx)² + (df/dy)²)。
- 输入值：f(x, y) = = x**2 + 3*x*y, x值 = 2, y值 = 1, 步长h（默认0.0001） = 0.0001
- df/dx（对x的偏导数） = 7
- df/dy（对y的偏导数） = 6
- f(x, y) = 10
- 梯度向量（df/dx, df/dy） = (7, 6)
- 梯度大小|grad f| = 9.219544
此计算示例是本计算器发布前必须通过的自动化基准值测试之一。
前提假设
- 本工具对给定的输入应用确定性规则。
- 此为一般性信息，并非专业建议。
常见问题
使用的是哪个公式？
中心差分近似：df/dx ≈ (f(x+h, y) - f(x-h, y)) / (2 × h)；df/dy ≈ (f(x, y+h) - f(x, y-h)) / (2 × h)；误差为O(h²)；默认h = 0.0001可得约8位有效数字。梯度：grad(f) = (df/dx, df/dy)；梯度大小 |grad f| = √((df/dx)² + (df/dy)²)。, 这是由以下来源记录的标准形式： CalculatorHub 方法论.
结果会随时间变化吗？
不会。这是确定性规则，相同的输入始终得到相同的结果。
官方来源与验证
- 方法： CalculatorHub 方法论, 核实于 2026-07-14.
由 CalculatorHub 团队审阅，编辑： James Graham, 2026-07-14. 请参阅我们的 方法论说明. 此为一般性信息，并非专业建议。